root 2

Die Quadratwurzel aus 2 ist in der Mathematik diejenige positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 2 ergibt, also die Zahl , für die gilt. Diese Zahl ist eindeutig bestimmt, irrational und wird durch dargestellt. Die ersten Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung sind: = 1,414213562…

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Irrationalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quadratwurzel aus 2 ist wie die Kreiszahl oder die eulersche Zahl irrational. Im Gegensatz zu den beiden ist sie jedoch nicht transzendent, sondern algebraisch. Bereits um 500 v. Chr. war dem Griechen Hippasos von Metapont die Irrationalität bekannt. Den wohl bekanntesten Beweis der Irrationalität der Quadratwurzel aus 2 veröffentlichte um 300 v. Chr. der Grieche Euklid.

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Nachkommastellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da Wurzel 2 irrational ist, hat die Zahl in jedem Stellenwertsystem unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen und lässt sich deshalb auch lặng Dezimalsystem nur näherungsweise darstellen. Die ersten 50 dezimalen Nachkommastellen lauten:

 (Folge A002193 in OEIS)

Kettenbruchentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine andere Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Die Kettenbruchdarstellung von Wurzel 2 ist – im Gegensatz zur Kreiszahl  – periodisch, denn Wurzel 2 ist eine quadratische Irrationalzahl. Für die -te Wurzel aus 2 mit trifft dies jedoch nicht zu.

 (Folge A040000 in OEIS)

Diese periodische Entwicklung ergibt sich aus folgenden einfachen Tatsachen (mit der Gaußschen Abrundungsfunktion ):

Die ersten Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung von sind

Kettenwurzeleigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl lässt sich folgendermaßen als unendlich fortgesetzte Kettenwurzel darstellen:

Xem thêm: một đời một kiếp

^[1]

Die Figur verdeutlicht die Konvergenz gegen anhand der Funktionswerte der Wurzelfunktion mit unter Einbeziehung der Hilfsgeraden .

Geometrische Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da irrationale Zahlen eine unendlich lange Dezimaldarstellung haben, ist es unmöglich, eine solche Zahl mit dem Lineal genau abzumessen. Es ist aber möglich, die Zahl mit Zirkel und Lineal zu konstruieren: Die Diagonale eines Quadrates ist -mal sánh thầy thuốc wie seine Seitenlänge. Es reicht auch ein rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Katheten jeweils 1 Einheit thầy thuốc sind. Die Länge der Hypotenuse beträgt dann Einheiten. Um dies zu beweisen, reicht der Satz des Pythagoras: Für die Länge der Diagonale gilt .

Das genannte Dreieck ist auch der Beginn der Wurzelschnecke.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bereits die alten Hochkulturen haben sich Gedanken über die Wurzel aus 2 gemacht. Die alten Inder schätzen = 1,414215686…  . Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von überein, die Abweichung beträgt nur +0,0001502 Prozent. Von ihrer Irrationalität wussten sie wahrscheinlich nichts. Die Babylonier wie auch die Sumerer schätzten um 1950 v. Chr. die Wurzel aus 2 umgerechnet noch auf 1,41. Aus der Zeit um 1800 v. Chr. ist von den Babyloniern eine weitere Näherung überliefert. Sie benutzten in ihrer Keilschrift ein Stellenwertsystem zur Basis 60 und berechneten die Näherung mit

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= 1,414212962…^[2]

Diese Näherung stimmt auf fünf Nachkommastellen mit dem tatsächlichen Wert von überein, die Abweichung beträgt nur −0,0000424 Prozent.

Im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert v. Chr. entdeckte Hippasos von Metapont, ein Pythagoreer, entweder an einem Quadrat oder an einem regelmäßigen Fünfeck, dass das Verhältnis von Seitenlänge zu Diagonale nicht mit ganzen Zahlen darzustellen ist. Damit bewies er die Existenz inkommensurabler Größen. Eine antike Legende, wonach die Veröffentlichung dieser Erkenntnis von den Pythagoreern als Geheimnisverrat betrachtet wurde, ist nach heutigem Forschungsstand unglaubwürdig.

Sonstiges[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Merkhilfe für die ersten Nachkommastellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten vier Zweierblöcke 14, 14, 21 und 35 der dezimalen Stellen von Wurzel 2 sind, aufgefasst als zweistellige Zahlen, alle durch sieben teilbar. Die vier darauf folgenden Ziffern lassen sich in die durch sieben teilbaren Blöcke 623 und 7 aufteilen.

Ganzzahligkeit von Ausdrücken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Eric W. Weisstein: Pythagoras’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A028254 in OEIS (Engel-Entwicklung (englisch Engel expansion) von √2)

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg năm 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 179
2. ↑ Kleiner Geschichtsabriss zur Computer-, Technik-, Kommunikations - und Mediengeschichte (Memento vom 9. Mai 2007 lặng Internet Archive) – Beitrag zum Schülerprojekt Meine Welt 2020. Reportagen aus der Zukunft, 31. März 2000
3. ↑ Square Root of 2. Bei: numberworld.org. 9. Januar 2017, abgerufen am 24. April 2018.